已知关于x的一元二次方程x2+k（x-1）-1=0 （1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根； （2）是否存在正数k，使方程的两个实数根x1，x2满足x12+kx1+2x1x2=7-3（x1+

题目

已知关于x的一元二次方程x²+k（x-1）-1=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）是否存在正数k，使方程的两个实数根x₁，x₂满足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂）？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）方程x²+k（x-1）-1=0可化为x²+kx-k-1=0，
由于△=k²+4k+4=（k+2）²≥0，
所以方程有两个实数根．
（2）假设存在正数k，满足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂），
由于x₁，x₂是方程的两个实数根，
∴把x=x₁代入得：x₁²+kx₁-k-1=0，
∴x₁²+kx₁=k+1，x₁+x₂=-k，x₁x₂=-k-1，
即k+1+2（-k-1）=7+3k，
解得k=-2，这与题设k＞0相矛盾．
∴满足条件的正数k不存在．