一道有关极限的高中数学题

题目

一道有关极限的高中数学题
二次函数y=n(n+1)x^2-(2n+1)x+1,n属于N*,求这些二次函数的图像在x轴上截得的线段的长度总合

答案

很简单,二次函数在x轴上截得的长度可由韦达定理求出：相当与方程：
n(n+1)x^2-(2n+1)x+1=0,的两根之差的绝对值：|x2-x1|=根号下[(x2+x1)^2-4x1x2]=1/[n(n+1)]
要求的极限就是：
lim{1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[n(n+1)]},当n趋向于无穷大的极限,而这个可以裂项求和：
上式=lim{1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)}=lim[1-1/(n+1)],当n无穷大时,这个极限就是1