试证：坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件试存在三个均不为零的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,且l+m+n=0

题目

试证：坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件试存在三个均不为零的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,且l+m+n=0
（一）充分性
∵l+m+n=0
∴l=-m-n
∴lOA+mOB+nOC=(-m-n)OA+mOB+nOC
=m(OB-OA)+n(OC-OA)=mAB+nAC=0
得AB=(-n/m)AC
∴ 三点A,B,C共线
二.(必要性）
∵三点A,B,C共线
∴存在两个均不为0的实数m,n使得
AB=(-n/m)AC
即mAB+nAC=0
得m(OB-OA)+n(OC-OA)=0
(-m-n)OA+mOB+nOC=0
令l=-m-n
得lOA+mOB+nOC=0
所以坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件是存在三个均不为0的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,(OA,OB,OC均为向量,l,m,n和向量是乘的关系）且l+m+n=0.
疑问：充分性和必要性是什么,为什么要先证充分性

答案

充分性指条件能得出结论；必要性指结论能推出条件.
命题1 的充分条件是 命题2,意思是 命题2 能推出 命题1.必要性相反.
这题当中充分性指：存在三个l m n,…… => A B C共线
必要性指：A B C共线 => 存在三个l m n,……
至于先证哪一个是无关紧要的,反正两个方向都要证明.（几乎所有的考试题目都是一个方向好证明,另一个方向不好证明,考试的时候要注意两个方向都尝试一下,把容易的写出来,这样可以拿近一半的分数.）