用2个4、2个5、2个6组成的六位数中,有多少个完全平方数

题目

用2个4、2个5、2个6组成的六位数中,有多少个完全平方数

答案

用2个4、2个5、2个6组成的六位数共有C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=15*6*1=90个,但是没有一个是完全平方数.
设某个六位数为x²,x∈R,
由于4*2+5*2+6*2=30,能被3整除,而不能被9整除,
所以x²能被3整除,而不能被9整除,
但是3是质数,如果x是整数,那么3能整除x²,就能整除x,
故x是3的倍数,x²就是9的倍数,这与x²不能被9整除矛盾,从而x不能为整数.
所以用2个4、2个5、2个6组成的所有六位数中没有一个是完全平方数.