求由两条曲线y=-x2，4y=-x2及直线y=-1所围成图形的面积，并画出简图．

题目

求由两条曲线y=-x²，4y=-x²及直线y=-1所围成图形的面积，并画出简图．

答案

由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．
由

y＝−x2 y＝−1

得C（1，-1）．
同理得D（2，-1）．
∴所求图形的面积S=2{

∫

1 0

[−

x2

4

−(−x2)]dx+

∫

2 1

[−

x2

4

−(−1)]dx}
=2(

∫

1 0

3x2

4

dx−

∫

2 1

x2

4

dx+

∫

2 1

dx)=2（

x3

4

|

1 0

−

x3

12

|

2 1

+x

|

2 1

）=

4

3

．

由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出封闭图形的面积，即可求得结论．

本题考点：定积分在求面积中的应用．

考点点评：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．