P(x) 和 Q(x)是两个多项式函数,

题目

P(x) 和 Q(x)是两个多项式函数,
而且(P(x))^2 - (Q(x))^3=1
证明P和Q只能是常数函数.
但我没有说P和Q都是1次啊，P可以是3次，Q是2次，这样P^2和Q^3就有相同次数了。他们可能是几次都可以，不能随便默认。

答案

设P的次数为m,Q的次数为n,
P^2=Q^3+1
两边次数相同2m=3n
两边求导2PP'=3(Q^2)Q'
次数相同m(m-1)=2n(n-1)
两式联立可得m=n=0