帮忙解决一道中值定理证明题

题目

帮忙解决一道中值定理证明题
证明:若函数f(x)在[0,1]上可导,则必存在一点ξ∈(0,1),使
f’(ξ)=2ξ[f(1)-f(0)].
我认为根据中值定理的出的应该是
f'(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=f(1)-f(0)
为什么有对多出个2ξ来呢?

答案

你说的中值定理称为拉格朗日中值定理．这题应该应用柯西中值定理：
如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F'(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点ξ,使等式成立：f'(ξ)/F'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)].
本题中设F(x)=x^2,应用柯西中值定理即可.