设方程x^2+px+q=0的两根之差等于方程x^2+qx+p=0的两根之差,求证p=q或p+q=-4

题目

设方程x^2+px+q=0的两根之差等于方程x^2+qx+p=0的两根之差,求证p=q或p+q=-4

答案

x^2+px+q=0的两根为x1,x2则|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(p^2-4q)同理x^2+qx+p=0的两根为x3,x4则|x3-x4|=√(q^2-4p)所以有;p^2-4q=q^2-4pp^2-q^2+4(p-q)=0(p-q)(p+q+4)=0得p-q=0或p+q+4=0即p=q或p+q=-4...