定义域在实数集上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0

题目

定义域在实数集上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0
(1)求证:f(0)=1
(2)求证:对任意x,y∈R,有f(-x)=f(x).
(3)若存在常数c,使f(c/2)=0,求证对任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立.

答案

证：①令x=y=0,则f(0)+f(0)=2∵f(0)≠0∴f(0)=1
②令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y)