如图,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分∠BAF交BC边于点E. (1)求证:AF=DF+BE. (2)设DF=x(0≤x≤1),△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值?若存
题目
如图,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分∠BAF交BC边于点E.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/00e93901213fb80ec10b956635d12f2eb83894ad.jpg)
(1)求证:AF=DF+BE.
(2)设DF=x(0≤x≤1),△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值?若存在,求出此时x的值及S.若不存在,请说明理由.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df3d7ca7bcb0a468c057c886863f6246b60af58.jpg)
(1)证明:如图,
延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG.因为ABCD是正方形,所以在Rt△ADF和Rt△ABG中,AD=AB,∠ADF=∠ABG=90°,DF=BG.
∴Rt△ADF≌Rt△ABG(SAS),
∴AF=AG,∠DAF=∠BAG.
又∵AE是∠BAF的平分线
∴∠EAF=∠BAE,
∴∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE即∠EAD=∠GAE.
∵AD∥BC,
∴∠GEA=∠EAD,
∴∠GEA=∠GAE,
∴AG=GE.
即AG=BG+BE.
∴AF=DF+BE,得证.
(2)
S=S△ADF+S△ABE=DF•AD+BE•AB∵AD=AB=1,
∴
S=(DF+BE)由(1)知,AF=DF+BE,所以
S=AF.
在Rt△ADF中,AD=1,DF=x,
∴
AF=,
∴
S=.
由上式可知,当x
2达到最大值时,S最大.而0≤x≤1,
所以,当x=1时,S最大值为
=.
(1)作辅助线AG、BG,使得BG=DF,可以求证△ABG≌△ADF,在求证∠GAE=∠DAE=∠GEA,即可求证AG=EG,即求EG=DF+BE即可.
(2)列出△ADF与△ABE的面积和S的计算式,并且化简,根据S与x的关系求最大值.
正方形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质.
本题考查的转化思想,要把AF转化到其全等三角形里面,根据等腰三角形腰长相等的性质求解.考查了面积计算公式,和一元二次不等式极值的计算.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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