已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.

题目

已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,点A(1,1/2),过原点O的直线l与曲线C交于M,N两点,求三角形MAN面积的最大值.

答案

直线l过原点,设直线为y=kx,k≠0,M(x1,y1),N(x2,y2)
联立 y=kx 和 x²/4+y²=1
得 x²+4k²x²-4=0,即 (1+4k²)x²-4=0
由韦达定理 x1+x2=0,x1*x2= -4/(1+4k²)
|MN|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1-x2)²+(kx1-kx2)²
=(1+k²)(x1-x2)²=(1+k)²[(x1+x2)²-4x1x2]
=16(1+k²)/(1+4k²)
|MN|=4√[(1+k²)/(1+4k²)]
点A(1,1/2)到直线l的距离,d=|k-1/2|/√(1+k²)
S△MAN=d×|MN|/2=1/2×4|k-1/2|/√(1+4k²)
=|2k-1|/√(1+4k²)=√[(4k²+1-4k)/(4k²+1)]
=√[1- 4k/(4k²+1)]=√[1- 4/(4k+1/k)]
①若k＞0,0＜4/(4k+1/k)≤1
0≤1- 4/(4k+1/k)＜1
0≤S=√[1-4/(4k+1/k)]＜1,即 0≤S＜1
当且仅当 4k=1/k,k=1/2时,4k+1/k≥2√(4k-1/k)=4,S=0
实际上,此时直线l y=x/2,过A(1,1/2)点,与直线OA重合.
②当k＜0时,-4k＞0,-1/k＞0
S=√[1-4/(4k+1/k)]=√[1+4/(-4k-1/k)]
∵ 4k*1/k=4为定值,∴ -4k-1/k≥4
0＜4/(-4k-1/k)≤1
1＜1+4/(4k+1/k)≤2
1＜S=√[1+4/(4k+1/k)]≤√2
即1＜S≤√2
当且仅当k=-1/2时,Smax=√2.
③当k=0时,MN=2a=4,h=yA=1/2,S=1/2×4÷2=1
④当k不存在时,MN=2b=2,h=xA=1,S=1/2×2×1=1
综上,当k=-1/2时,Smax=√2