如图,点E在CA的延长线上,DE、AB交于点F,且∠BDE=∠AEF,∠B=∠C,∠EFA比∠FDC的余角小10°,P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP,FM为∠EFP的平分

题目

如图,点E在CA的延长线上,DE、AB交于点F,且∠BDE=∠AEF,∠B=∠C,∠EFA比∠FDC的余角小10°,P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP,FM为∠EFP的平分线.求证：①FQ平分∠AFP；②∠B+∠E=140°；③∠QFM的角度为定值.

答案

1,证ABCD为平行四边形
∠BDE=∠AEF,所以BD//CA（内错角相等）
BD//CA,所以,∠B=∠EAF,又因为,∠B=∠C,所以,∠EAF=∠C,所以AB//CD（同位角）
所以ABCD是平行四边形（两组对边平行）
2,AB//CD,所以∠AFQ=∠FQP,又因为∠FQP=∠QFP,所以∠AFQ=∠QFP,所以：①FQ平分∠AFP得证
3.∠EFA比∠FDC的余角小10°,即：∠EFA = 90-∠FDC-10,所以.∠EFA+∠FDC = 80
又∠EFA=∠FDC（AB//CD,同位角）,所以∠EFA=∠FDC = 40
所以；②∠B+∠E = ∠B+∠BDF = 180-∠BFD=180-∠EFA = 180-40=140
4,；③∠QFM =∠PFM - PFQ = ∠PFE/2 - ∠PFA/2 = ∠EFA/2 = 20