如图在正方形ABCD中,E,F分别是bc cd上的点,满足EF=BE+DF,AE,AF分别与对角线BD交于M,N,

题目

如图在正方形ABCD中,E,F分别是bc cd上的点,满足EF=BE+DF,AE,AF分别与对角线BD交于M,N,
求证MN的平方=BM的平方+DN的平方

答案

设正方形边长=a,对角线=b
由：相似三角形DNF与ABN 可以得出：2根号三/（b-2根号三)= DF/a
同理：相似三角形BME与AMD可以得出：4/（b-4)= BE/a
由题意,BE+EC=a,且 EF=BE+DF
所以：(a-BE)^2 +(a-DF)^2 = EF^2 = BE^2+DF^2+2BE*DF
展开,整理,消除BE^2,DF^2两项得到：
a^2 - a * (BE+DF) = BE*DF
再展开：a^2 -a*DF = BE*(a+DF)
a/BE = (a+DF)/(a-DF)
将之前的BE,DF代入上式,得：（b-4)/4=b/(b-4根号3）
整理得到：b^2-(8-4根号3)b+16根号3 = 0
b1=4+2根号3+2根号7；b2=4+2根号3-2根号7
因为：b = BM + MN + DN = 4+2根号3 +MN
所以：MN = 2根号7