高二用归纳法证明不等式的一道题

题目

高二用归纳法证明不等式的一道题
Ai>0(i=1,2,3...n) 且A1 +A2+.+An=1
证明A1^2+A2^2+...+An^2>=1/n (n>=2 属于整数）

答案

A1 +A2+.+An=1
(A1 +A2+.+An)^2=A1^2+A2^2+...+An^2+2(A1A2+A2A3+……）＝1 （1）
记A＝A1^2+A2^2+...+An^2 = n (A1^2+A2^2+...+An^2)/ n
B＝2(A1A2+A2A3+……）
由基本公式 a^2+b^2>=2ab
A1^2+A2^2>=2A1A2
A2^2+A3^2>=2A2A3
……
上述n-1个等式相加
得 (n-1)A>=B （2）
综合（1）和（2）得到A1^2+A2^2+...+An^2>=1/n