A为抛物线x^2=4y上异于原点的任意一点,F为抛物线焦点,l为抛物线在A点处的切线,点BC在抛物线上,AB⊥l且交y轴于M,点AFC共线,直线BC交y轴于N.(1)求证|AF|=|MF| (2)求|
题目
A为抛物线x^2=4y上异于原点的任意一点,F为抛物线焦点,l为抛物线在A点处的切线,点BC在抛物线上,AB⊥l且交y轴于M,点AFC共线,直线BC交y轴于N.(1)求证|AF|=|MF| (2)求|MN|的最小值
答案
设点A坐标为(a,a²/4)
4y=x²对x求导得:y'=x/2
所以直线I斜率为a/2,直线AB斜率为-2/a
AB直线方程为y-a²/4=(-2/a)(x-a),令x=0解得M点坐标(0,2+a²/4),与抛物线方程联立解得B点坐标(-a-8/a,4+16/a² +a²/4)
F点坐标(0,1),AF斜率=(a²/4 -1)/(a-0)=a/4 -1/a,AF直线方程y-a²/4=(a/4-1/a)(x-a),与抛物线联立解得C点坐标(-4/a,4/a²)求出BC方程,与y轴交点N点坐标(0,-1-8/a²)
|AF|=A到准线y=-1的距离=1+a²/4,|MF|=2+a²/4 -1=1+a²/4
∴|AF|=|MF|
|MN|=2+a²/4+1+8/a²=3+a²/4 +8/a²≥3+2√2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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