已知数列{an}的各项为正数，前n项和为Sn，且Sn=an(an+1)2，n∈N+．求证：数列{an}是等差数列．

题目

已知数列{a_n}的各项为正数，前n项和为S_n，且S_n=

an(an+1)

2

，n∈N₊．求证：数列{a_n}是等差数列．

答案

证明：∵S_n=

an(an+1)

2

∴S1=

a1(1+a1)

2

∴a₁=1…（1分）
由

2Sn= a 2 n +an 2Sn-1= a 2 n-1 +an-1

⇒2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1…（3分）
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=1
所以数列{a_n}是等差数列  …（6分）

由已知递推公式可先求a₁，然后利用a_n=S_n-S_n-1即可证明

本题考点：等差关系的确定；数列的应用．

考点点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的和与项之间的相互转化关系的应用，及等差数列的定义在等差数列的证明中的应用．