已知数列a的前n项和为S,S=n2(平方)a(n为正整数),试归纳出S的表达式是

题目

已知数列a的前n项和为S,S=n2(平方)a(n为正整数),试归纳出S的表达式是
S=n2(平方)An(n为正整数)
An表示数列的第n项

答案

a1=S1=a1
S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)…………（1）
Sn=n^2*an…………（2）
（2）－（1）得
an=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
当n>1时
(n-1)^2*a(n-1)=(n^2-1)*an
(n+1)*an=(n-1)*a(n-1)
an=(n-1)/(n+1)*a(n-1)
=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*a(n-2)
………………
=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*(n-3)/(n-1)*…*2/4*1/3*a1
=2/n(n+1)*a1
=2*(1/n-1/(n+1))*a1 （n>1)
n=1时,检验,也满足该通项
Sn=2*a1*(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-
1/(n+1))
=2*a1*(n/(n+1))
=2*n*a1/(n+1)