已知Sn为等比数列{an}的前n项和，an＞0，Sn=80，S2n=6560，前n项中的数值最大的项为54，求S100．

题目

已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，S_n=80，S_2n=6560，前n项中的数值最大的项为54，求S₁₀₀．

答案

∵Sn=a1+…+an，S2n-Sn=an+1+ …+a2n=(a1+…+an)qn，
∵S_2n-S_n＞S_n，∴两式相比可得qⁿ=81＞1，
∴数列{a_n}是递增的数列，前n项中的数值最大的项为a_n，故a_n=54，
∴

an=a1qn-1=54 Sn= a1(1-qn) 1-q =80

，∴

a1 q = 2 3 a1 q-1 =1

，
解得

a1=2 q=3

，
∴S₁₀₀=

a1(1-q100)

1-q

=3¹⁰⁰-1

由题意可得qⁿ=81，数列{a_n}是递增的数列故

an=a1qn-1=54 Sn= a1(1-qn) 1-q =80

，可解的a₁和q，代入求和公式计算可得．

本题考点：等比数列的前n项和

考点点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及数列的单调性的判定，属基础题．