λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求证α1,α2线性无关.

题目

λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,求证α1,α2线性无关.

答案

证明:设 k1α1+k2α2=0 (1)
等式两边左乘A得 k1Aα1+k2Aα2=0
由已知得 k1λ1α1+k2λ2α2=0 (2)
λ1*(1) - (2)
k2(λ1-λ2)α2=0
因为α2是特征向量,故不等于0
所以 k2(λ1-λ2)=0
而 λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值
所以 k2=0
代入(1)知k1=0.
故α1,α2线性无关