在椭圆x216+y29=1内，有一内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，点A在椭圆上运动，则△ABC的重心的轨迹方程为 _ ．

题目

在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1内，有一内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，点A在椭圆上运动，则△ABC的重心的轨迹方程为 ___ ．

答案

椭圆方程是

x2

16

+

y2

9

=1中，
∵a=4，∴B（-4，0），C（4，0），
设重心M（x，y），A（m，n），则由重心的坐标公式可得

-4+4+m 3 =x 0+0+n 3 =y

，
即

m=3x n=3y

，则 A（3x，3y），
代入椭圆方程得

9x2

16

+y2=1，y≠0．
故答案为：

9x2

16

+y2=1，y≠0．

椭圆方程是

x2

16

+

y2

9

＝1中，由a=4，知B（-4，0），C（4，0），设重心M（x，y），则由重心的坐标公式可得 A（3x，3y），代入椭圆方程能求出结果．

本题考点：圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评：本题考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．