抛物线y=x^2上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为

题目

抛物线y=x^2上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为

答案

因为3x-y+1=0,
所以y=3x+1,
所以此直线的倾斜角a满足tana=3,
所以切线的斜率k1=tan(a+45)=(tana+tan45)/(1-tana*tan45)=-2
或斜率k2=tan(a-45)=(tana-tan45)/(1+tana*tan45)=1/2,
令f(x)=y=x^2,
所以f'(x)=2x,
所以2x=-2或2x=1/2,
所以x=-1或x=1/4,
所以y=1或y=1/16,
所以点A的坐标为(-1,1)或(1/4,1/16).