设A为奇数阶正交矩阵,det(A)=1,证明1是A的一个特征值
题目
设A为奇数阶正交矩阵,det(A)=1,证明1是A的一个特征值
用反证法证明
答案
反证法：
因为正交阵特征值的模均为1,且复特征值成对出现,所以若1不是A的特征值,那么A的特征值只有-1,以及成对出现的复特征值.注意到A是奇数阶的,所以除去成对出现的复特征值后必有奇数个特征值 -1.这样,利用矩阵A的所有特征值之积就等于矩阵A的行列式 detA 可知：这奇数个-1与成对出现的复特征值之积为 detA=1.但是,奇数个-1的乘积为 -1,成对出现的复特征值之积为1,它们的乘积也是-1,与 detA=1 矛盾.因此假设不成立,1必为A的一个特征值.
举一反三
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