m是非零常数,x∈R,且f(x+m)=(1+f(x))/(1-f(x)),问f(x)是否是周期函数?若是求出T,若不是,说明理由

m是非零常数,x∈R,且f(x+m)=(1+f(x))/(1-f(x)),问f(x)是否是周期函数?若是求出T,若不是,说明理由

题目
m是非零常数,x∈R,且f(x+m)=(1+f(x))/(1-f(x)),问f(x)是否是周期函数?若是求出T,若不是,说明理由
答案
周期为4m
f(x+2m)=f[(x+m)+m]=[1+f(x+m)]/[1-f(x+m)] ⑴
f(x+m)=[1+f(x)]/[1-f(x)] ⑵
由⑴⑵推出f(x+2m)=-(1/f(x)) ⑶
f(x+4m)=f[(x+2m)+2m]=-(1/f(x+2m))=f(x)
所以f(x)为周期函数,周期为4m
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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