如何证明一个函数在某区间内是有界函数

题目

如何证明一个函数在某区间内是有界函数

答案

求有界性和求值域是不同的问题,前者要求很松,后者要求更精确,看问题的要求了.有界性的判断有很多方法,最直观的一个就是根据函数的单调性判断有界性,还有,诸如在闭区间上连续函数有界等等法则：针对本题：y=√(x+1)-√x=1/[√(x+1)+√x]
容易判断,此函数在(1,∞)上是单调的减函数,所以,
上界当x=1时取到,y=√2-1;
下界当x->∞时取得,极限为0.
所以,此函数是有界的,y∈(0,√2-1).