已知X1,X2分别是方程X+log3X=-1,X+3*X=-1的两个根,求X1+X2等于多少

题目

已知X1,X2分别是方程X+log3X=-1,X+3*X=-1的两个根,求X1+X2等于多少

答案

解法一
-1-x=3^x
-1-x=log3x
f(x)=3^x与g(x)=log3x互为反函数
所以它们的图像关于y=x对称
而-1-x的图像也关于y=x对称
在坐标系上画出图像可知
这两个函数与-1-x的交点关于y=x对称
所以假设两交点的坐标为(x1,y1)(x2,y2)
斜率为(y1-y2)/(x1-x2)=-1
且中点在直线y=x上有 (x1+x2)/2=(y1+y2)/2
解得x1=y2 y1=x2
所以-1-x1=3^x1
3^x1=y1=x2
-1-x1=x2
x1+x2=-1
解法二
x1+log(3)x1=-1
3^(-1-x1)=x1
3^(-1-x1)=-1-(-1-x1)
-1-x1+3^(-1-x1)=-1
发现其实-1-x1就是方程x+3^x=-1的解
因为这两个函数都是递增的,所以都只有一个实数解
所以-1-x1=x2 即x1+x2=-1