若t=sinx+cosx,且sin^3 x+cos^3 x

题目

若t=sinx+cosx,且sin^3 x+cos^3 x

答案

不难,这样做：
∵ sinx+cosx=t,（sinx+cosx）²=t²,所以
sinx*cosx=(t²-1)/2；
原方程 sin^3 x+cos^3 x=(sinx+cosx)(sinx²-sinx*cosx+cosx²)
=t*(1-(t²-1)/2)
故 t*(1-(t²-1)/2)>0 解此不等式,结合图像得：
（-根3,0）∪（根3,+无穷） （1）
又 t=sinx+cosx=根2（sin(x+π/4)）,所以
-根2