证明连接四边形各边的中点所得四边形为原四边形面积的一半

题目

证明连接四边形各边的中点所得四边形为原四边形面积的一半

答案

设四边形ABCD,顶点四个角为a,b,c,d.
连接对角线,四边形面积可视作两三角形面积之和.那么如果将ABC,ADC,ABD,BCD四个三角形面积相加,得到总面积为四边形面积两倍.运用正弦定理得：
2V(ABCD)为1/2*sina*AB*AD+1/2*sinb*AB*BC+1/2*sinc*BC*CD+1/2*sind*AD*DC.
那么V=1/4*sina*AB*AD+1/4*sinb*AB*BC+1/4*sinc*BC*CD+1/4*sind*AD*DC.
原四边形扣除中间的四边形应有四个小三角形.
同样用正弦定理求得它们的面积:
V(四个三角形)=1/2*sina*1/2AB*1/2AD+1/2*sinb*1/2AB*1/2BC+1/2*sinc*1/2BC*1/2CD+1/2*sind*1/2AD*1/2DC.
结果是V=1/8*sina*AB*AD+1/8*sinb*AB*BC+1/8*sinc*BC*CD+1/8*sind*AD*DC.是总面积的一半,那么中间的四边形面积也应为总面积一半.