过点M（2,2p）做抛物线x^2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线方程?

题目

过点M（2,2p）做抛物线x^2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB中点的纵坐标为6,则抛物线方程?
答案中的x=pk

答案

答：你题目中的点M应该是(2,-2p)才对,这样能确保可以作出两条切线来.

设过点M（2,-2p）的切线方程为：y-(-2p)=k(x-2),即：y=kx-2k-2p
代入抛物线方程x^2=2py得：x^2=2p(kx-2k-2p)=2pkx-4pk-4p^2
x^2-2pkx+4pk+4p^2=0……（1）
直线与抛物线相切,说明仅有一个交点,上式仅有一个实数
△=(-2pk)^2-4(4pk+4p^2)=0,即：pk^2-4k-4p=0……（2）
根据韦达定理：k1+k2=4/p……（3）
方程（1）的唯一解x=-(-2pk)/(2*1)=pk
代入抛物线方程x^2=2py得：y=(pk)^2/(2p)=pk^2/2……（4）
由（2）和（4）得：y=(4k+4p)/2=2(k+p)……（5）
设点A(x1,y1),点B(x2,y2),AB中点纵坐标为：y1/2+y2/2
所以：6= y1/2+y2/2=(k1+p)+(k2+p)=k1+k2+2p……（6）
由（3）和（6）得：
4/p+2p=6
解得p=1或者p=2
故抛物线方程为：x^2=2y或者x^2=4y