若直线过定点M(m,0)(m>0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=m2;y1y2=-2pm.
题目
若直线过定点M(m,0)(m>0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=m2;y1y2=-2pm.
答案
设过M(m,0)的直线方程为：y=k(x-m)
直线方程与抛物线方程联立：
y=k(x-m)
y²=2px
得：k²x²-(2mk²+2p)x+k²m²=0 和 y²-2xp/k-2pm;
由韦达定理得：
x1x2=k²m²/k²=m²
y1y2=-2pm/1=-2pm
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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