已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是_.

已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是_.

题目
已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是______.
答案
∵A(3,0),B(0,4),
∴直线AB的方程是:
x
3
+
y
4
=1

由均值不等式得
1=
x
3
+
y
4
 ≥2
x
3
y
4
=2
xy
12

1
4
xy
12

∴xy≤3
即xy的最大值是3
x
3
=
y
4
=
1
2
,即x=
3
2
,y=2时取最大值.
故答案为:3.
由A(3,0),B(0,4),知直线AB的方程是:
x
3
+
y
4
=1
,由均值不等式得 1=
x
3
+
y
4
 ≥2
x
3
y
4
=2
xy
12
,故xy≤3.

直线的两点式方程;简单线性规划.

本题考查两点式方程和均值不等式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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