设S是n维向量空间V的子集,证明一下两点：

题目

设S是n维向量空间V的子集,证明一下两点：
1、如果S线性无关,则|S|≤n,而且S是基底的充要条件是|S|=n
2、如果V=L(S),则|S|≥n,而且S是基底的充要条件是|S|=n

答案

如果s的绝对值表示s中元素个数的话：
1,反证,若>n,因为s是v的子集,又s线性无关,可知v维数大于n,矛盾.
若s是基底,自然=n,若=n,且v中存在s无法表示出的向量,则存在一个向量与s线性无关,又s自身线性无关,所以v的基的个数>n,矛盾.
2,如果v=L(s),可知s中至少有v中一组基,所以>=n,
若=n,因为v=L(s),自然s是一组基,若s是基底,s中元素个数也自然等于v的维数n.