过p(0,-1)的直线与双曲线x^2-y^2/3=1有且仅有一个公共点,求该直线的方程.

题目

过p(0,-1)的直线与双曲线x^2-y^2/3=1有且仅有一个公共点,求该直线的方程.

答案

过p(0,-1)的直线与双曲线x^2-y^2/3=1有且仅有一个公共点,
（1）相交,只有一个交点,那么直线与双曲线渐近线平行
双曲线渐近线 y=±√3x
所以所求直线方程为：y=±√3x-1
（2）相切
设方程为y=kx-1
联立
3x^2-y^2=3
y=kx-1
消y得
3x^2-(k^2x^2-2kx+1)-3=0
(3-k^2)x^2+2kx-4=0
判别式=4k^2+16(3-k^2)=0
k^2=4
k=±2
切线方程：y=±2x-1