已知点M(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P(x,y)为线段MN的中点.(1)求点P(x,y)的轨迹方程;(2)求点P(x,y)到直线3x+4y-86=0的距离的最大值和最小值.

已知点M(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P(x,y)为线段MN的中点.(1)求点P(x,y)的轨迹方程;(2)求点P(x,y)到直线3x+4y-86=0的距离的最大值和最小值.

题目
已知点M(x0,y0)在圆x2+y2=4上运动,N(4,0),点P(x,y)为线段MN的中点.
(1)求点P(x,y)的轨迹方程;
(2)求点P(x,y)到直线3x+4y-86=0的距离的最大值和最小值.
答案
(1)根据线段中点坐标公式,得
2x=x0+4
2y=y0

解得x0=2x-4,y0=2y,
∵点M(x0,y0)即M(2x-4,2y)在圆x2+y2=4上运动,
∴M坐标代入,得(2x-4)2+4y2=4,
化简得(x-2)2+y2=1,即为点P(x,y)的轨迹方程;
(2)∵点P(x,y)的轨迹是以C(2,0)为圆心,半径等于1的圆
∴求得C到直线3x+4y-86=0的距离d=
|3×2+0-86|
32+42
=16
可得点P(x,y)到直线3x+4y-86=0的距离的最大值为16+1=17,最小值为16-1=15.
(1)由线段的中点坐标公式,算出点M(x0,y0)即M(2x-4,2y),将M坐标代入圆x2+y2=4并化简,即可得到点P(x,y)的轨迹方程;
(2)根据P的轨迹是以C(2,0)为圆心、半径等于1的圆,算出C到已知直线的距离,再分别加上、减去半径,即可得到点P到已知直线距离的最大值和最小值.

直线和圆的方程的应用;轨迹方程.

本题给出动点的轨迹,求其方程并求点到直线的距离的最值.着重考查了点到直线的距离公式、圆的方程、线段的中点坐标公式和动点轨迹的求法等知识,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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