如图,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,
题目
如图,抛物线y=ax
2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值.
答案
(1)∵抛物线y=ax
2-3ax+b过A(-1,0)、C(3,2),
∴0=a+3a+b,2=9a-9a+b.
解得a=-
,b=2,
∴抛物线解析式y=-
x
2+
x+2.
(2)过点C作CH⊥AB于点H,
由y=-
x
2+
x+2得B(4,0)、D(0,2).
∴CD∥AB.
由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形,
∴S
△AOD=S
△BHC.
设矩形ODCH的对称中心为P,则P(
,1).
由矩形的中心对称性知:过P点任一直线将它的面积平分.
∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分.
当直线y=kx-1经过点P时,
得1=
k-1
∴k=
.
∴当k=
时,直线y=
x-1将四边形ABCD面积二等分.
举一反三
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