设A为n阶方阵,E为N阶单位矩阵,且A^2-A=2E,证明则r(2E-A)+r(E+A)=n

题目

设A为n阶方阵,E为N阶单位矩阵,且A^2-A=2E,证明则r(2E-A)+r(E+A)=n
设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵，证明
r(A*)=n----------r(A)=n
r(A*)=1----------r(A)=n-1
r(A*)=0----------r(A)

答案

如果知道特征值的话,A的极小多项式没有重根等价于A可对角化,直接得到结论
如果不知道特征值,那么用初等变换证明diag(2E-A,E+A)可以变换到diag(E,0)
对于伴随矩阵的问题,利用AA*=|A|E,把A*视为方程组AX=|A|E的解,然后根据秩进行讨论即可