已知平面上一定点C(2,0)和直线L:Χ=8,垂足于Q,且(向量PC+1/2向量PQ)·(向量PC-1/2向量PQ)=0.

已知平面上一定点C(2,0)和直线L:Χ=8,垂足于Q,且(向量PC+1/2向量PQ)·(向量PC-1/2向量PQ)=0.

题目
已知平面上一定点C(2,0)和直线L:Χ=8,垂足于Q,且(向量PC+1/2向量PQ)·(向量PC-1/2向量PQ)=0.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若EF为圆N:X平方+(y-1)平方=1的任一条直径,求向量PE·向量PF的最值
答案
(1).向量PC=(2-x,-y),PQ=(8-x,y-y)=(8-x,0);
故PC+(1/2)PQ=(2-x+(8-x)/2,-y)=(6-(3/2)x,-y);PC-(1/2)PQ=(2-x-(8-x)/2,-y)=(-2-x/2,-y);
(PC+(1/2)PQ)•(PC-(1/2)PQ)=[6-(3/2)x](-2-x/2)+(-y)(-y)=-12+(3/4)x²+y²=0
故得P点的轨迹方程为 x²/16+y²/12=1,即P的轨迹是一个a=4,b=2√3,焦点在x轴上的椭圆.
(2)若EF为过圆N:x^2+(y-1)^2=1圆心的任一条直线,求PE向量•PF向量的最值.
E,F应改该在园上吧?那么EF就是直径.
把园的方程改成参数形式:x=cost,y=1+sint;
把椭圆方程也改写成参数形式:x=4cosθ,y=2(√3)sinθ;
因为EF是直径,故可设E(cost,1+sint);F(cos(π+t),1+sin(π+t))=(-cost,1-sint);
P在椭圆上,故P(4cosθ,2(√3)sinθ);于是:
PE=(cost-4cosθ,1+sint-2(√3)sinθ);PF=(-cost-4cosθ,1-sint-2(√3)sinθ);于是:
PE•PF=(cost-4cosθ)(-cost-4cosθ)+[1+sint-2(√3)sinθ][1-sint-2(√3)sinθ]
=(-cos²t+4cosθcost-4cosθcost+16cos²θ)+[1-sin²t-2(√3)sinθ(1-sint)-2(√3)sinθ(1+sint)+12sin²θ]
=16cos²θ-4(√3)sinθ+12sin²θ=12+4cos²θ-4(√3)sinθ=12+4(1-sin²θ)-4(√3)sinθ
=-4sin²θ-4(√3)sinθ+16=-4(sin²θ+(√3)sinθ)+16=-4[(sinθ+(√3)/2)²-3/4]+16=-4[sinθ+(√3)/2]²+19
故当sinθ=-(√3)/2,即θ=-π/3或π+π/3=4π/3时,PE•PF获得最大值19;
当sinθ=1,即θ=π/2时,PE•PF获得最小值-4[1+(√3)/2]²+19=12-4√3.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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