已知椭圆x平方╱3＋y平方╱2＝1过左焦点F1的直线l的倾斜角为45度,与椭圆相交AB两点,求AB中点坐标和若右焦点为F2,求三角形ABF2的周长和面积

题目

已知椭圆x平方╱3＋y平方╱2＝1过左焦点F1的直线l的倾斜角为45度,与椭圆相交AB两点,求AB中点坐标和若右焦点为F2,求三角形ABF2的周长和面积

答案

c²=a²-b²=3-2=1
所以左焦点为(-1,0),右焦点为(1,0)
倾斜角45度,则直线的斜率K=1
设直线方程:y=x+b
直线经过左焦点,0=-1+b,b=1
所以直线方程:y=x+1
代入椭圆方程:x²/3+(x+1)²/2=1,2x²+3(x+1)²=6,2x²+3x²+6x+3=6
5x²+6x-3=0,x1+x2=-6/5
y1+y1=(x1+1)+(x2+1)=(x1+x2)+2=-6/5+2=4/5
所以AB的中点坐标为(-3/5,2/5)
x1x2=-3/5,y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-3/5-6/5+1=-4/5
|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2
=(-6/5)²-4*(-3/5)+(4/5)²-4*(-4/5)=192/25
|AB|=8√3
点F2到直线的距离L=|1-0+1|/√2=√2
面积S=1/2*|AB|*L=1/2*8√3*√2=4√6
周长C={AB|+|AF2|+|BF2|
=AF1+AF2+BF1+BF2
=a+OF1+a+OF2
=2√3+2
(解题方法要参照椭圆的画法,AF1+AF2=长半轴的长+原点到焦点的距离)