a、b、c是△ABC的三边，求证a2+b2+c2＜2（ab+bc+ac）．

题目

a、b、c是△ABC的三边，求证a²+b²+c²＜2（ab+bc+ac）．

答案

证明：2（ab+bc+ac）可变形为
ab+bc+ac+ab+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
因三角形两边和大于第三边，
即b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c
故a²=a×a＜a（b+c），b²=b×b＜b（a+c），c²=c×c＜c（a+b）
所以a²+b²+c²＜a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）
∴a²+b²+c²＜2（ab+bc+ac）．