设P为正三角形ABC外接圆圆O的劣弧BC上的一点,AP交BC于点D.

题目

设P为正三角形ABC外接圆圆O的劣弧BC上的一点,AP交BC于点D.
证明:PB、PC是方程x2-PAx+PA·PD=0的两个根

答案

证明：延长BP到F,使PF=PC,连接PC、CF．
∵∠FBC=∠BAC=60°,∴△PCF为正三角形．
∴△APC≌△BFC．∴PA=FB=BP＋PF=BP＋PC． ①
在△ABP和△CDP中,∵∠PCD=∠PAB,∠DPC=∠BPA=60°,
∴△CDP∽△ABP．∴．即PB·PC=PA·PD． ②
由①和②两式可知,PB和PC是方程x2－PAx＋PA·PD=0的两根．