数列{an}的前n项和为Sn＝2n+q，bn＝lgan，已知{bn}为等差数列． （1）求q； （2）求数列{anbn}的前n项和Tn．

题目

数列{a_n}的前n项和为S

答案

（1）∵数列{a_n}的前n项和为Sn＝2n+q，bn＝lgan，{b_n}为等差数列，
∴n=1时，a₁=S₁=2+q，
n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝2n−1，
∴n=1时，b₁=lga₁=lg（2+q），
n≥2时，b_n=lga_n=（n-1）lg2，
要使{b_n}为等差数列，
则b₁=lga₁=lg（2+q）=0，
∴q=1．
（2）∵an＝2n−1，
∴b_n=lga_n=（n-1）lg2，
∴Tn＝1×0+2×lg2+…+2n−1×(n−1)lg2，①
∴2Tn＝22•lg2+23•2lg2+…+2n•(n−1)lg2，②
①-②，得-T_n=2lg2+2²lg2+2³lg2+…+2^n-1lg2-2ⁿ•（n-1）lg2
=lg2×[

2(1−2n−1)

1−2

−2n(n−1)]
=-lg2（n•2ⁿ-2^n-1+2），
∴Tn＝(n•2n−2n+1+2)•lg2．