在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，a+c=2b，求此三角形的三边之比．

题目

在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，a+c=2b，求此三角形的三边之比．

答案

由正弦定理得

a

c

=

sinA

sinC

=

sin2C

sinC

=2cosC，即cosC=

a

2c

．
由余弦定理得cosC=

a2+b2−c2

2ab

=

(a+c)(a−c)+b2

2ab

，
∵a+c=2b，
∴cosC=

2b(a−c)+b• a+c 2

2ab

=

2(a−c)+ a+c 2

2a

，
∴

a

2c

=

2(a−c)+ a+c 2

2a

．
整理得2a²-5ac+3c²=0，解得a=

3

2

c，a=c（舍去因为A=2C）又a+c=2b，
所以a：b=6：5．所以a：b：c=6：5：4
三角形的三边之比为：6：5：4．