当1≤x^2+y^2≤2时,x^2-xy+y^2的最大值和最小值是多少?

题目

当1≤x^2+y^2≤2时,x^2-xy+y^2的最大值和最小值是多少?

答案

不妨设x=acost,y=asint,1≤a≤2,0≤t≤2π
x^2-xy+y^2＝a^2-a^2sintcost
=a^2(1-1/2sin2t)
因此当sin2t=1时,有最小值1/2a^2；当sin2t=－1时,有最小值3/2a^2
因此1/2≤x^2-xy+y^2≤6