已知函数f(x)=log以2为底(|2x+1|+|x+2|-m),当m=4求函数定义域

题目

已知函数f(x)=log以2为底(|2x+1|+|x+2|-m),当m=4求函数定义域
若关于x的不等式f(x)≧1的解集为R,求m的取值范围

答案

比较麻烦 要讨论的 真数部分大于0 即|2x+1|+|x+2|-m>0 当m=4时
即|2x+1|+|x+2|-4>0 ①
2x+1=0 得 x=-1/2
x+2=0 得x=-2
所以要讨论三个区间段 即（负无穷,-2] [-2,-1/2] 和[-1/2,正无穷]
当x∈（负无穷,-2]时 ①式可化为-3x-7>0 解得 x0 解得x0 解得x>1/3
综上所述当m=4求函数定义域为(负无穷,-7/3]∪[1/3,正无穷）
2.若关于x的不等式f(x)≧1的解集为R,即|2x+1|+|x+2|-m≥2恒成立
于是转化为求解不等式|2x+1|+|x+2|-m≥2 ②
x∈（负无穷,-2]时,②式可化为-3x-5-m≥0 解得x≤-5/3-m/3 可得-5/3-m/3≥-2 解得m≤1 ③
x∈ [-2,-1/2] 时 ②式可化为-x-1-m≥0 解得x≤-1-m 可得-1-m≥-1/2 解得m≤-1/2 ④
x∈[-1/2,正无穷]时 ②式可化为3x+1-m≥0 解得x≤m/3-1/3 可得m/3-1/3≤-1/2 解得m≤-1/2 ⑤
求③④⑤的交集可得 当且仅当m≤-1/2时 关于x的不等式f(x)≧1的解集为R