已知函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y） （x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证明f（x）是偶函数．

题目

已知函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）  （x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证明f（x）是偶函数．

答案

证明：令x=y=0
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）
∴f（0）+f（0）=2f（0）•f（0）
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1
令x=0
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）∴f（y）+f（-y）=2f（0）•f（y）
∴f（-y）=f（y）
即f（x）是偶函数