△ABC一边BC在平面α内,顶点A在平面α外,已知∠ABC=π3,三角形所在平面与α所成的二面角为π6,则直线AB与α所成角的正弦值为( ) A.32 B.14 C.12 D.34
题目
△ABC一边BC在平面α内,顶点A在平面α外,已知∠ABC=
,三角形所在平面与α所成的二面角为
,则直线AB与α所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案
作AO⊥α,交平面α于点O,
作OH⊥BC,交BC于点H,
连结AH,
得三角形所在平面与α所成的二面角为
∠AHO=,
设AO=a,则AH=2a,
又
∠ABC=,
则AB=
=
=
a,
连结BO,则∠ABO为直线AB与α所成角,
∴sin∠ABO=
=
=
.
∴直线AB与α所成角的正弦值为
.
故选:D.
作AO⊥α,交平面α于点O,作OH⊥BC,交BC于点H,连结AH,连结BO,则∠ABO为直线AB与α所成角,由此能求出直线AB与α所成角的正弦值.
直线与平面所成的角
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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