A为3阶矩阵,|A-E|=|A-2E|=|A-3E|=0,求|A*-E|

题目

A为3阶矩阵,|A-E|=|A-2E|=|A-3E|=0,求|A*-E|
|E-A|=(-1)^3*|A-E|=0
同理|2E-A|=|3E-A|=|E-A|=0

答案

因为|A-E|=0
所以|E-A|=(-1)^3*|A-E|=0
同理|2E-A|=|3E-A|=|E-A|=0
由此我们可以知道,矩阵A的三个特征值的为1,2,3（联系矩阵的特征值的求法）
所以矩阵A可逆,且|A|=1×2×3=6.
AA*=|A|E
所以A*=|A|A^(-1) [A^(-1)表示A的逆矩阵]
A的特征值为1,2,3
所以A^(-1)的特征值为1,1/2,1/3
所以A*的特征值为6,3,2 因为A*=|A|A^(-1)
所以我们知道,存在可逆矩阵P和它的逆矩阵Q【Q=P^(-1),】,使得PA*Q的结果为一对角阵D,即
PA*Q=D,且D的对角线元素为6,3,2
所以|A*-E|=|P| |A*-E| |Q|=|PA*Q-PEQ|=|D-E| 因为P、Q互为逆矩阵 |P|*|Q|=1,PEQ=E
D-E的结果是一对角阵,对角线元素为5,2,1
所以|A*-E|=|D-E| =5×2×1=10
对于矩阵E-A,相当于矩阵A-E的每行乘上-1
在计算行列式的时候,如果某一行（列）有公因子k,可以讲k提到行列式外面
所以计算|E-A|时,每行都提出公因子-1,就得到|A-E|,总共3行
所以|E-A|=(-1)^3*|A-E|=0