已知f(x)=log[2](x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(x/3,y/2)在函数y=g(x)的图象上运动,当x在[0,1]时,求g(x)-f(x)的最大值

题目

已知f(x)=log[2](x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(x/3,y/2)在函数y=g(x)的图象上运动,当x在[0,1]时,求g(x)-f(x)的最大值

答案

由题意知y=g(x)：y/2 =log[2](x/3 + 1) ,化简得y=g（x）=2log[2](x/3 + 1)
令F(x)=g(x)-f(x)=2log[2](x/3 + 1)-log[2](x+1)
=2[log[2](x+3)-log[2]3]-log[2](x+1)
=log[2](x+3)^2/(x+1)-2log[2]3
因为y=(x+3)^2/(x+1)=[(x+1)^2+4(x+1)+4]/(x+1)=(x+1) + 4/(x+1) + 4
在（0,1）上递减,所以x=0时,取最大值y（max）=9
此时F（x）=F(x)(max)=log[2]9 - 2log[2]3 = 0