设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数y=(a-b2)x2-cx-a-b2在x=1时取最小值-85b，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

题目

设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数y=(a-

b

2

)x2-cx-a-

b

2

在x=1时取最小值-

8

5

b，则△ABC是（　　）
A. 等腰三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形

答案

由题意可得

- -c 2(a- b 2 ) =1 a- b 2 -c-a- b 2 =- 8 5 b

，
即

b+c=2a c= 3 5 b

，
所以c=

3

5

b，a=

4

5

b，因此a²+c²=b²，
所以△ABC是直角三角形，
故选D．

根据二次函数在对称轴时取得最小值，然后根据题意列出方程组即可求出答案；

本题考点：二次函数的最值；勾股定理的逆定理．

考点点评：本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时，在对称轴处取得最小值．