正三角形ABC内接与圆O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于点E,求证（1）PA=PB+PC (2)PA×PE=PB×PC

题目

正三角形ABC内接与圆O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于点E,求证（1）PA=PB+PC (2)PA×PE=PB×PC

答案

（1）在AP上取点D使PD=PC,连接DC
角APC=角ABC=60度 所以三角形PCD是等边三角形
角BPD=角ACB=60度 角BPC=120度 角ADC=180-60=120度
又角PAC=角PBC CD=CP 所以三角形BPC与三角形ADC全等
所以BP=AD 又PD=PC
所以PA=PB+PC
（2）角BPE=角APC 角PAC=角PBE
所以三角形BPE与三角形APC相似
所以PA/PB=PC/PE
即PA×PE=PB×PC