已知抛物线C:y=-x62=mx-1和点A(3,0),B(0,3).求证:抛物线C与线段AB有两个不同的交点的充要条件是3＜m≤10/3

题目

已知抛物线C:y=-x62=mx-1和点A(3,0),B(0,3).求证:抛物线C与线段AB有两个不同的交点的充要条件是3＜m≤10/3

答案

线段AB 的方程：
y - 0 = [(3-0)/(0-3)] (x -3)
y = -x + 3
0≤x≤3
联立
y = -x² + mx - 1
y = -x + 3
-x + 3 = -x² + mx - 1
x² - (m+1)x + 4 = 0
f(x) = x² - (m+1)x + 4 是抛物线.对称轴为 x = (m+1)/2
与x轴有2个不同交点,且交点满足 0≤x≤3 ,则
0≤(m+1)/2 ≤3
f[(m+1)/2] < 0
f(0) ≥ 0
f(3) ≥ 0
-1 ≤m ≤5
[(m+1)/2]² - (m+1)(m+1)/2 + 4 < 0
0² - (m+1)*0 + 4 ≥ 0
3² - (m+1)*3 + 4 ≥ 0
-1 ≤m ≤5
(m+1)² > 16
10 - 3m≥ 0
-1 ≤m ≤5
m > 3 或 m < -5
m ≤ 10/3
m < -5 与 -1 ≤m ≤5 的交集是空集
因此 不等式组化为
-1 ≤m ≤5
m > 3
m ≤ 10/3
因此
3 < m ≤ 10/3